МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ
Волкова Р.А., Кузьмин Р.Н., Кулешов А.А., Мышецкая Е.Е.,
Савенкова Н.П., Тишкин В.Ф.
(Москва)
В работе рассматривается двухмерная математическая модель лесных пожаров, приводится алгоритм численного решения и результаты тестовых расчетов.
MATHEMATICAL MODELLING OF FOREST FIRE
Volkova R.А., Кuzmin R.N., Kuleshov А.А.,
Мishetskaya Е.Е., Savenkova N.P., Tishkin V.F.
(Moscow)
In this article the two-dimensional
mathematical model of forest fires is considered, and the algorithm of
numerical solution and results of test calculations are given.
1. Введение.
В работе [1] была предложена двухмерная модель лесных пожаров, построенная методом осреднения исходных трехмерных уравнений газовой динамики по высоте слоя лесных горючих материалов, который рассматривается как одноярусная двухфазная (газовая и твёрдая фазы) двухтемпературная реакционноспособная среда.
В данной работе предложен алгоритм численного решения, основанный на методе расщепления по физическим процессам и приведены результаты тестовых расчетов , по программе, реализующей предложенный алгоритм. Предложенная двухмерная математическая модель может быть применена для экспертной оценки развития ситуации в случае реальных лесных пожаров при выработке управленческих решений о ликвидации пожаров и оценки последствий лесных пожаров.
2. Двухмерная модель лесных пожаров.
В предлагаемой модели лес рассматривается как одноярусная
двухфазная среда, состоящая из воздуха и газообразных продуктов горения
(газовоздушная или газовая фаза) и из
лесных горючих материалов (ЛГМ) и твёрдых продуктов пиролиза и горения ЛГМ
(твёрдая фаза). При построении физико-математической модели двухфазной
гетерогенной смеси на основе методов механики сплошной среды, такая смесь
представляется как двухкомпонентный двухскоростной континуум с
взаимопроникающим движением фаз и с межфазным обменом массой, импульсом и
энергией. Газовая фаза является многокомпонентной средой, состоящей из горючих
газов (
и др.), негорючих газов (
), дисперсных сажи, золы и окислителя (
). Твердая фаза также является многокомпонентной средой,
состоящей из ЛГМ, продукта пиролиза ЛГМ ― коксика и золы.
Газовая фаза:
,
твёрдая фаза:
,
, 
, 
, 
,
где:
— парциальная
плотность, давление, температура, полная энергия и скорость газовой фазы,
— объёмная доля
газовой фазы,
—
скорость поступления вещества в газовую среду за счёт процессов в твёрдой фазе,
—
тепловыделение в газовой фазе,
— поток
вещества, импульса и энергии на верхней и нижней границах слоя ЛГМ,
— массовые концентрации компонент
газовой фазы,
, где 
— скорость изменения 
в результате
химических реакций,
- коэффициент диффузии,
— молекулярная масса 
-ой компоненты, 
,
―
объемные доли компонентов твердой фазы в объеме двухфазной среды,
―
истинные плотности компонентов твердой фазы 
,
―
теплоемкости компонентов твердой фазы,
— скорость
изменения объемной доли 
,
—
температура твёрдой фазы,
— тепловыделение в твёрдой фазе,
— угловая скорость вращения Земли,
— эмпирический
коэффициент сопротивления растительности,
— удельная
поверхность ЛГМ,
—
коэффициент молекулярной теплопроводности в газе,
—
коэффициент турбулентной теплопроводности,
— обмен
лучистой энергией между твёрдой и газовой фазами,
— коэффициент
поглощения излучения,
— межфазный
теплообмен,
— коэффициент
теплообмена,
— показатель
адиабаты,
— тензор
турбулентных вязких напряжений,
— коэффициент
турбулентной вязкости,
—
постоянная Стефана-Больцмана,
— характерное расстояние между элементами
ЛГМ.
3. Схема численного решения. Метод расщепления.
На временном шаге [tn,tn+1] последовательно решаются задачи, начальными данными в которых служат решения, полученные на предыдущих этапах:
1 этап. Перенос газовой фазы:
(1)
2 этап. Учет изменения импульса и энергии за счет расширения трубки тока:
3 этап. Учет выбывания субстанции на верхней границе:
.
После 3–го этапа вычисляются:
, 
, 
, 
, 
.
4 этап. Учет межфазного трения:
5 этап. Учет изменения импульса за счет ускорения Кориолиса:
6 этап. Учет влияния турбулентной вязкости, теплопроводности и диффузии:
где 
.
7 этап. Учет химических реакций:
изменение массы и массовых концентраций в газовой фазе и объемных долей компонентов твердой фазы за счет химических реакций:
,
,
,
изменение тепловой энергии за счет химических реакций:
, 
.
Критерий прекращения горения: объемная доля ЛГМ становится меньше
некоторого критического значения 
:
.
8 этап. Учет межфазного теплообмена и обмена лучистой энергией:
9 этап. Вычисление давления из уравнения состояния:
4. Разностная схема для решения уравнений переноса газовой фазы.
При численной реализации разностным методом предложенной в
п.3 схемы решения известную трудность представляет только реализация первого
этапа - решение нелинейных уравнений переноса (1). Для этой системы
предлагается явная TVD
разностная схема [2]
решения на прямоугольной сетке 
:
или
(2)
где
аналогичные формулы для 
для 
Рис.1. Распространение ударной волны вдоль оси Оx.
Рис.2. Распространение передней кромки
фронта пожара (Т=1200К).
аналогичные формулы выписываются для
Разностная схема (2) имеет второй порядок аппроксимации по пространству и первый - по времени.
Условие устойчивости схемы (2) имеет вид
Разностная схема (2) была протестирована на примере распространения ударной волны. Результаты тестовых расчетов показывают (см. рис.1), что схема (2) адекватно производит решение системы уравнений (1).
Тестовые расчеты по всей программе были проведены для случая
равномерного распределения запасов ЛГМ материалов на местности и при отсутствии
ветра, при этом передняя кромка фронта пожара, проведенная по изотерме 
, имеет круговую структуру (см. рис.2).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №99-01-01243
Список литературы:
1. Беспалов М.С., Ичалов В.А., Кузьмин Р.Н., Кулешов А.А., Клочкова Л.В., Савенкова Н.П., Сузан Д.В., Тишкин В.Ф., Филиппова С.В. Физико-математическая модель лесных пожаров, сб. трудов конференции Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7, ч.2. М. Прогресс-Традиция, Москва, 2000, с.419-422.
2. Зеленцов В.Б., Рындина Н.Ч., Тишкин В.Ф. Применение квазимонотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации к нестационарной задаче о трещине продольного сдвига. М.: Институт математического моделирования РАН, 1993, Препринт №20, 18с.