УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИОФИЗИКИ
Смолянинов В. В.
Лаборатория биомеханических систем, ИМАШ РАН, 117334 Москва
Основные модели математической
физики описываются, как известно, тремя типами дифференциальных
уравнений 2-го порядка в частных производных - эллиптического,
параболического и гиперболического типов. Все привыкли к дифференциальному
формализму физических систем, поэтому такой формализм "по
аналогии" внедряется и в биофизику, что, вообще говоря, не
всегда правомочно. Действительно, математическое описание некоторых
биотканей, например таких как электрические синцитии - нервное
волокно, миокард и др., сводится к дифференциальным уравнениям
параболического типа. Однако, континуальные электрические модели
нейронных тканей ("нейроцитиев") математически описываются
принципиально другими, а именно интегральными уравнениями. Следовательно,
общую характеристику различий формализмов тканевых уравнений можно
дать на основе сравнения пространственных и временных операторов.
В случае континуальных моделей можно различать дифференциальные
Dx, Dt и интегральные Ix,
It операторы по пространственным координатам
x (для многомерных моделей координаты вводятся векторным
способом) и времени t. Тогда упомянутые выше модели абстрактно
представляются следующими парами операторов: синцитии ~ {Dx,
Dt}, нейроцитии ~ {Ix, It},
кинецитии ~ {Ix, Dt}, здесь
дополнительно выделен 3-й тип распределенных систем, связанных
с задачами популяционной кинетики. Разработанный нами конструктивный
подход к синтезу биосистем тканевого типа позволяет понять определяющую
роль разных структурных и функциональных аксиом задания элементов
("клеток") и их взаимодействий для результирующей формы
тканевых уравнений. Здесь следует различать понятия структурной,
функциональной и информационной связностей элементов. В синцитиях
только геометрически, т.е. структурно, связные ("соседние")
элементы обладают функциональными связями, а в нейроцитиях пространственно
соседние нейроны могут функционально и информационно взаимодействовать
с произвольно удаленными нейронами. Кроме того, эти модели принципиально
отличаются способом функционального взаимодействия клеток. Электрическая
синцитиальность функционально означает, что электрический ток
между контактирующими клетками пропорционален разности межклеточных
потенциалов (коэффициент пропорциональности равен сопротивлению
межклеточного контакта). Для клеток нейроцитиев характерен "медиаторный"
способ взаимодействия - синапсы функционируют как локальные источники
тока, величина которого определяется состоянием пресинаптического
нейрона. Дифференциальный формализм синцитиев превращается в интегральный
после того как определена функция Грина - подпороговый ответ на
локальный импульсный источник тока. Нейроцитии исходно допускают
интегральное операторное представление потому, что функция межнейронных
взаимодействий аналогична функции Грина.